Friday, March 27, 2020
Wednesday, March 25, 2020
CONTOH SOAL CERITA PROGRAM LINEAR DAN PEMBAHASANNYA
Untuk menyelesaikan soal cerita program linear, dibutuhkan kemampuan analisis yang lebih tinggi dibanding soal program linear yang biasa. Hal ini karena pada soal cerita kita dituntut untuk mampu menyusun sendiri sistem persamaan atau pertidaksamaan linear yang sesuai dengan cerita untuk kemudian ditentukan himpunan penyelesaiannya. Tentu saja ketika kita keliru dalam menyusun persamaan atau pertidaksamaan linear, maka hasil yang kita peroleh juga keliru. Oleh karena itu, selain memahami konsep-konsep dasar program linear yang harus kita lakukan adalah banyak berlatih mengerjakan soal-soal cerita tentang perogram linear untuk memperkaya model soal.
Contoh Soal Cerita Program Linear
Aini, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk.
Pembahasan :
misalkan :
apel = x
anggur = y
jeruk = z
Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
1). 2x + 2y + z = 67.000
2). 3x + y + z = 61.000
3). x + 3y + 2z = 80.000
Ditanya : x + y + 4z = ....?
Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang.
Dari persamaan no 1 dan 2 diperoleh persamaan 4 :
Dari persamaan no 2 dan 3 diperoleh persamaan 5 :
x + y + 4z = 12.000 + 18.000 + 4(7000) = Rp 58.000,00.
Saturday, March 21, 2020
PROGRAM LINEAR
Model Matematika
Model soal yang diberikan pada program linear biasanya berupa soal cerita. Agar dapat menyelesaikan soal cerita yang diberikan, sobat idschool perlu merubahnya ke dalam model matematika. Model matematika merupakan suatu cara merubah permasalahan sehari-hari ke dalam bahasa matematika dalam bentuk persamaan, pertidaksamaan, dan fungsi. Untuk penjelasan lebih detailnya, perhatikan penyelesaian kasus berikut.
Contoh soal model matematika
Tentukan model matematika dari soal di bawah.
Sebuah adonan roti basah dibuat dengan 2 kg tepung dan 1 kg gula. Sedangkan sebuah adonan roti kering dibuat menggunakan 2 kg tepung dan 3 kg gula. Ibu memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 5 kg. Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00, berapakah banyak kombinasi adonan roti yang dapat dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimal?
Pembahasan:
Misalkan:
x = adonan roti basah
y = adonan roti kering
Perhatikan tabel di bawah.Sehingga diperoleh model matematika dari soal di atas adalah seperti berikut.
[ x ⥸ 0 ]
[ y ⥸ 0 ]
[ 2x + y ⥶ 6 ]
[ x + y ⥶ 5 ]
Pembahasan yang diberikan hanya berhenti sampai di sini, belum sampai menentukan kombinasi jenis roti yang dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimal. Solusi selanjutnya akan dibahas pada penjabaran materi di bawah.
Cara Menyelesaikan Masalah Program Linear
Cara menyelesaikan masalah program linear dapat dikatakan sebagai proses untuk menentukan nilai optimum dari suatu pertidaksamaan. Nilai tersebut dapat berupa nilai maksimum atau minimum, tergantung dari soal yang diberikan. Bentuk umum fungsi objektif dari suatu model matematika adalah f(x,y) = ax + by. Terdapat dua metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum tersebut, yaitu metode uji titik pojok dan garis selidik. Penjabaran secara lebih jelasnya dapat dilihat pada pembahasan di bawah.
Metode Uji Titik Pojok
Sesuai namanya, metode uji titik pojok dilakukan dengan menghitung nilai fungsi tujuan dari titik pojok yang diperoleh. Titik pojok yang dimaksud di sini adalah titik-titik koordinat yang membatasi daerah layak dari suatu sistem pertidaksamaan linear.
Langkah – langkah yang dilakukan untuk menentukan nilai optimum dengan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut.
Menentukan garis-garis sistem pertidaksamaan yang menjadi fungsi kendala dari persoalan yang diberikan.
Menentukan titik-titik pojok yang merupakan koordinat pembatas daerah yang memenuhi fungsi kendala.
Menghitung nilai optimum f(x,y) dari titik-titik pojok yang diperoleh.
Mendapatkan nilai maksimum atau minimum sesuai permasalahan.
Untuk memperjelas pemahaman materi tentang mencari nilai optimum dengan metode uji titik pojok, kita akan menyelesaikan permasalah yang telah dibahas sebagian pada bagian model matematika. Berdasarkan pembahasan sebelumnya diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.
[ x ⥸ 0 ]
[ y ⥸ 0 ]
[ 2x + y ⥶ 6 ]
[ x + y ⥶ 5 ]
Lihat kembali soal yang diberikan, fungsi tujuan dapat diperoleh dari kalimat berikut.
Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00.
Jadi, fungsi tujuannya adalah memaksimalkan f(x, y) = 75.000x + 60.000y.
Menggambar daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan di atas.Menentukan titik koordinat yang mennjadi titik pojok pembatas daerah layak dari permasalahan sistem pertidaksamaan.
Titik Koordinat O, A, dan C dapat diperoleh dengan melihat gambar di atas, yaitu O(0,0), A(0, 5), dan C(3, 0). Sedangkan koordinat titik B dapat diperoleh dengan menggunakan metode eliminasi.
Mencari koordinat titik B.
Substitusi nilai x = 1 pada persamaan x + y = 5 untuk mendapatkan nilai y.
[ x + y = 5 ]
[ 1 + y = 5 ]
[ y = 5 - 1 = 4 ]
Koordinat titik B adalah (1, 4)
Perhitungan nilai optimum:Jadi, nilai keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan 4 (empat) adonan roti kering. setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00.
Jadi, fungsi tujuannya adalah memaksimalkan f(x, y) = 75.000x + 60.000y.
Perhitungan nilai optimum:
Jadi, nilai keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan 4 (empat) adonan roti kering.
Model soal yang diberikan pada program linear biasanya berupa soal cerita. Agar dapat menyelesaikan soal cerita yang diberikan, sobat idschool perlu merubahnya ke dalam model matematika. Model matematika merupakan suatu cara merubah permasalahan sehari-hari ke dalam bahasa matematika dalam bentuk persamaan, pertidaksamaan, dan fungsi. Untuk penjelasan lebih detailnya, perhatikan penyelesaian kasus berikut.
Contoh soal model matematika
Tentukan model matematika dari soal di bawah.
Sebuah adonan roti basah dibuat dengan 2 kg tepung dan 1 kg gula. Sedangkan sebuah adonan roti kering dibuat menggunakan 2 kg tepung dan 3 kg gula. Ibu memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 5 kg. Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00, berapakah banyak kombinasi adonan roti yang dapat dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimal?
Pembahasan:
Misalkan:
x = adonan roti basah
y = adonan roti kering
Perhatikan tabel di bawah.Sehingga diperoleh model matematika dari soal di atas adalah seperti berikut.
[ x ⥸ 0 ][ y ⥸ 0 ]
[ 2x + y ⥶ 6 ]
[ x + y ⥶ 5 ]
Pembahasan yang diberikan hanya berhenti sampai di sini, belum sampai menentukan kombinasi jenis roti yang dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimal. Solusi selanjutnya akan dibahas pada penjabaran materi di bawah.
Cara Menyelesaikan Masalah Program Linear
Cara menyelesaikan masalah program linear dapat dikatakan sebagai proses untuk menentukan nilai optimum dari suatu pertidaksamaan. Nilai tersebut dapat berupa nilai maksimum atau minimum, tergantung dari soal yang diberikan. Bentuk umum fungsi objektif dari suatu model matematika adalah f(x,y) = ax + by. Terdapat dua metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum tersebut, yaitu metode uji titik pojok dan garis selidik. Penjabaran secara lebih jelasnya dapat dilihat pada pembahasan di bawah.
Metode Uji Titik Pojok
Sesuai namanya, metode uji titik pojok dilakukan dengan menghitung nilai fungsi tujuan dari titik pojok yang diperoleh. Titik pojok yang dimaksud di sini adalah titik-titik koordinat yang membatasi daerah layak dari suatu sistem pertidaksamaan linear.
Langkah – langkah yang dilakukan untuk menentukan nilai optimum dengan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut.
Menentukan garis-garis sistem pertidaksamaan yang menjadi fungsi kendala dari persoalan yang diberikan.
Menentukan titik-titik pojok yang merupakan koordinat pembatas daerah yang memenuhi fungsi kendala.
Menghitung nilai optimum f(x,y) dari titik-titik pojok yang diperoleh.
Mendapatkan nilai maksimum atau minimum sesuai permasalahan.
Untuk memperjelas pemahaman materi tentang mencari nilai optimum dengan metode uji titik pojok, kita akan menyelesaikan permasalah yang telah dibahas sebagian pada bagian model matematika. Berdasarkan pembahasan sebelumnya diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.
[ x ⥸ 0 ]
[ y ⥸ 0 ]
[ 2x + y ⥶ 6 ]
[ x + y ⥶ 5 ]
Lihat kembali soal yang diberikan, fungsi tujuan dapat diperoleh dari kalimat berikut.
Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00.
Jadi, fungsi tujuannya adalah memaksimalkan f(x, y) = 75.000x + 60.000y.
Menggambar daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan di atas.Menentukan titik koordinat yang mennjadi titik pojok pembatas daerah layak dari permasalahan sistem pertidaksamaan.
Titik Koordinat O, A, dan C dapat diperoleh dengan melihat gambar di atas, yaitu O(0,0), A(0, 5), dan C(3, 0). Sedangkan koordinat titik B dapat diperoleh dengan menggunakan metode eliminasi.
Mencari koordinat titik B.
Substitusi nilai x = 1 pada persamaan x + y = 5 untuk mendapatkan nilai y.
[ x + y = 5 ]
[ 1 + y = 5 ]
[ y = 5 - 1 = 4 ]
Koordinat titik B adalah (1, 4)
Perhitungan nilai optimum:Jadi, nilai keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan 4 (empat) adonan roti kering. setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00.
Jadi, fungsi tujuannya adalah memaksimalkan f(x, y) = 75.000x + 60.000y.
Perhitungan nilai optimum:
Jadi, nilai keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan 4 (empat) adonan roti kering.
Subscribe to:
Posts (Atom)